Дифференциальное уравнение (ДУ) - это уравнение ,
где - независимые переменные, y - функция и - частные производные.

Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .

Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:

Вот пример уравнения четвертого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:

В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y . В первом случае y является функцией от x . Во втором случае x является функцией от y . Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′ .
Разделив это уравнение на dx , мы получим:
.
Поскольку и , то отсюда следует, что
.

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

• явную зависимость функции от переменной;

  Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .

• неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений;

  Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.

• зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;

  Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

• решение может не выражается через элементарные функции.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Инструкция

Если уравнение представлено в виде: dy/dx = q(x)/n(y), относите их к категории дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Их можно решить, записав условие в дифференциалах по следующей : n(y)dy = q(x)dx. Затем проинтегрируйте обе части. В некоторых случаях решение записывается в виде интегралов, взятых от известных функций. К примеру, в случае dy/dx = x/y, получится q(x) = x, n(y) = y. Запишите его в виде ydy = xdx и проинтегрируйте. Должно получиться y^2 = x^2 + c.

К линейным уравнениям относите уравнения «первой ». Неизвестная функция с ее производными входит в подобное уравнение лишь в первой степени. Линейное имеет вид dy/dx + f(x) = j(x), где f(x) и g(x) – функции, зависящие от x. Решение записывается с помощью интегралов, взятых от известных функций.

Учтите, что многие дифференциальные уравнения - это уравнения второго порядка (содержащие вторые производные) Таким, например, является уравнение простого гармонического движения, записанное в виде общей : md 2x/dt 2 = –kx. Такие уравнения имеют, в , частные решения. Уравнение простого гармонического движения является примером достаточно важного класса: линейных дифференциальных уравнений, у которых имеется постоянный коэффициент.

Рассмотрите более общий пример (второго порядка): уравнение, где у и z – являются заданными постоянными, f(x) – заданная функция. Подобные уравнения можно решить разными способами, к примеру, при помощи интегрального преобразования. Это же самое можно сказать и про линейные уравнения более высоких порядков, имеющих постоянные коэффициенты.

Примите к сведению, что уравнения, которые содержат неизвестные функции, а также их производные, стоящие в степени выше первой, называются нелинейными. Решения нелинейных уравнений достаточно сложны и поэтому, для каждого из них используется свой частный случай.

Источники:

• типы дифференциальных уравнений

Изучение курса дифференциального исчисления всегда начинается с составления дифференциальных уравнений. Прежде всего рассматривают несколько физических задач, при математическом решении которых неизбежно возникают производные различных порядков. Уравнения, которые содержат аргумент, искомую функцию и ее производные называют дифференциальными.

Вам понадобится

• - ручка;
• - бумага.

Инструкция

В исходных физических задачах аргументом, чаще всего, является t. Общий принцип составления дифференциального уравнения (ДУ) состоит в том, что на малых приращениях аргумента функции почти не меняются, что позволяет заменять приращения функции их дифференциалами. Если в постановке задачи речь зайдет о изменения какого-либо параметра, то сразу следует производную параметра (со знаком минус, если некоторый параметр уменьшается).

Если в процессе рассуждений и выкладок возникли интегралы, их можно устранить дифференцированием. И наконец, в физических формулах производных и так более чем достаточно. Самое главное – рассмотреть как можно примеров, которые в процессе необходимо довести до стадии составления ДУ.

Решение. Пусть входное напряжение U(t), а искомое выходное u(t) (см. рис.1).
Входное напряжение состоит из суммы выходного u(t) и падения напряжения на сопротивления R - Ur(t).
U(t)=Ur(t)+Uc(t); по закону Ома Ur(t)=i(t)R, i(t)=C(dUc/dt). С другой стороны Uc(t)=u(t), а i(t) – ток цепи (в том числе и на емкости С). Значит i=C(du/dt), Ur=RC(du/dt). Тогда баланс напряжений в электрической цепи можно переписать в виде: U=RC(du/dt)+u. Разрешая это уравнение относительно первой производной, имеем:
u’(t)=-(1/RC)u(t)+(1/RC)U(t).
Это ДУ первого порядка. Решением задачи будет его общее решение (неоднозначное). Для получения однозначного решения надо задавать начальные условия (краевые) в виде u(0)=u0.

Пример 2. Найти уравнение гармонического осциллятора.

Решение. Гармонический осциллятор (колебательный контур) – основной элемент радиопередающих и радиоприемных устройств. Это замкнутая электрическая цепь, содержащая параллельно соединенные емкость С (конденсатор) и индуктивность L (катушка). Известно, что токи и напряжения на таких реактивных элементах связаны равенствами Iс=C(dUc/dt)=CU’c,
Ul=-L(dIl/dt)=-LI’l . Т.к. в этой задаче все напряжения и все токи одинаковы, то окончательно
I’’+(1/LC)I=0.
Получено ДУ второго порядка.

Видео по теме

Определить вид дифференциального уравнения необходимо для того, чтобы подобрать соответствующий каждому случаю способ решения. Классификация видов довольно большая, а решение основывается на методах интегрирования.

Инструкция

Необходимость в дифференциальных уравнениях возникает тогда, когда известны , а сама она остается неизвестной величиной. Часто такая ситуация возникает при исследовании физических . Свойства функции описываются ее производными или дифференциалом, поэтому единственным способом ее нахождения является интегрирование. Прежде чем приступать к решению, нужно определить вид дифференциального уравнения.

Существует несколько дифференциальных уравнений, простейшим из них является выражение у’ = f(х), где у’ = dу/dх. Кроме того, к этому виду может быть приведено равенство f(х) у’ = g(х), т.е. у’ = g(х)/f(х). Разумеется, это возможно только при условии, что f(х) не обращается в ноль. Пример: 3^х у’ = х² – 1 → у’ = (х² - 1)/3^х.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными называются так потому, что производная у’ в данном случае буквально разделена на две составляющие dу и dх, которые находятся по разные стороны от знака равно. Это уравнения вида f(у) dу = g(х) dх. Пример: (у² – sin у) dу = tg х/(х - 1) dх.

Найти функцию f по некоторой заданной зависимости, в которую входят сама функция с аргументами и ее производные. Подобный тип задач актуален в физики, химии, экономики, технике и других областях науки. Подобные зависимости носят название дифференциальных уравнений. К примеру, y" - 2xy = 2 - это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Посмотрим, как подобные типы уравнений решаются.

Что это?

Уравнение, выглядящее следующим образом:

• f(y, y", ..., y(10), y(11), ..., y(k), x) = 0,

носит название обыкновенного дифура и характеризуется как уравнение порядка k, и зависит оно от x и производных y", y"", ... - вплоть до k-й.

Разновидности

В случае, когда функция, которую нужно найти, в дифференциальном уравнении зависима только от одного аргумента, тип дифференциального уравнения именуется обыкновенным. Иными словами, в уравнении функция f и все ее производные зависят только от аргумента x.

При зависимости же искомой функции от нескольких разных аргументов уравнения носят название дифференциальных в частных производных. В общем случае они выглядят:

• f(x, fx", ..., y, fy"..., z, ..., fz"", ...),

где под выражением fx" понимается производная функции по аргументу x, а fz"" - двойная производная функции по аргументу z, и т. д.

Решение

Несложно догадаться, что именно считается решением диф. уравнения. Это функция, подстановка которой в уравнение дает тождественный результат по обе стороны знака равно, называется решением. Например, уравнение t""+a2t = 0 имеет решение в виде t = 3Cos(ax) - Sin(ax):

1 t"= -3aSin(ax) - aCos(ax) 2 t""= -3a2Cos(ax) + a2Sin(ax) 3 t""+a2t= (-3a2Cos(ax) + a2Sin(ax)) + a2(3Cos(ax) - Sin(ax))

Проведя упрощение уравнения 3 мы выясним, что t""+a2t = 0 при всех значения аргумента x. Однако стоит сразу оговориться. Уравнение t = 3Cos(ax) - Sin(ax) является не единственным решением, а лишь одним из бесконечного множества, которое описывается формулой mCos(ax) + nSin(ax), где m и n - это произвольные числа.

Причина такого соотношения заключается в определение первообразной функции в интегральном исчислении: если Q - первообразная (точнее одна из многих) для функции q , то ∫q(x) dx = Q(x) + C, где С - произвольная константа, которая обнуляется при обратной операции - взятии производной функции Q"(x).

Опустим определение того, что такое решение уравнения k-го порядка. Не трудно представить, чем больше порядок производной, тем больше констант возникает в процессе интегрирования. Также следует уточнить, что описанное выше определение для решения не является полным. Но для математиков XVII века оно было достаточным.

Ниже будут рассмотрены лишь основные типы дифференциальных уравнений первого порядка. Самые базовые и простые. Помимо них существуют и другие диф. уравнения: однородные, в полных дифференциалах и Бернулли. Но решение всех часто связано с методом разделяющихся переменных, который будет рассмотрен ниже.

Разделение переменных как способ решения

F = 0 - представляет собой диф. уравнение порядка 1. При решении данного типа дифференциальных уравнений они легко приводятся к виду y" = f. Так, например, уравнение ey" - 1 - xy = 0 приводится к виду y" = ln(1 + xy). Операция приведения дифференциального уравнения к подобному виду называется его разрешением относительно производной y".

После разрешения уравнения нужно привести его к дифференциальному виду. Это делается путем умножения на dx всех частей равенства. Из y" = f получается y"dx = fdx. С учетом того, что y"dx = dy, получим уравнение в виде:

• dy = f dx - которое называется дифференциальной формой.

Очевидно, y" = f(x) - наиболее простое дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение достигается простым интегрированием. Более сложным видом является q(y)*y" = p(x), в котором q(y) - это функция, зависящая от y, а p(x) - функция зависящая от x. Приведя его к дифференциальному виду, получим:

• q(y)dy = p(x)dx

Легко понять, почему уравнение называется разделенным: его левая часть содержит только переменную y, а правая - только x. Решается такое уравнение с применением следующей теоремы: если у функции p существует первообразная P, а у q - Q, то интеграл дифура будет Q(y) = P(x) + C.

Решим уравнение z"(x)ctg(z) = 1/x. Приведя это уравнение к дифференциальному виду: ctg(z)dz = dx/x; и взяв интеграл от обеих частей ∫ctg(z)dz = ∫dx/x; получим решение в общем виде: C + ln|sin(z)| = ln|x|. Красоты ради данное уравнение по правилам логарифмов может быть записано в иной форме, если положить C = ln W - получим W|sin(z)| = |x| или, еще проще, WSin(z) = x.

Уравнения вида dy/dx = q(y)p(x)

Разделение переменных можно применить на уравнениях вида y" = q(y)p(x). Нужно только учесть случай, когда q(y) при некотором числе а обращается в нуль. То есть q(a) = 0. В таком случае функция y = a будет решением, т. к. для нее y" = 0, следственно, q(a)p(x) также равно нулю. Для всех остальных значений, где q(y) не равно 0, можно записать дифференциальную форму:

• p(x) dx = dy / q(y),

интегрируя которую, получают общее решение.

Решим уравнение S" = t2(S-a)(S-b). Очевидно, корнями уравнения являются числа a и b. Поэтому S=a и S=b - решения данного уравнения. Для других значений S имеем дифференциальную форму: dS/[(S-a)(S-b)] = t2dt. Откуда легко получить общий интеграл.

Уравнения вида H(y)W(x)y" + M(y)J(x) = 0

Разрешив данный вид уравнение относительно y" получим: y" = - C(x)D(y) / A(x)B(y). Дифференциальная форма данного уравнения будет такова:

• W(x)H(y)dy + J(x)M(y)dx = 0

Для решения данного уравнения нужно рассмотреть нулевые случаи. Если а - корень W(x), то x = a - интеграл, т. к. из этого следует, что dx = 0. Аналогично, со случаем, если b - корень M(y). Тогда для области значений x, при которых W и M не обращаются в ноль, можно провести разделение переменных путем деления на выражение W(x)M(y). После чего выражение можно интегрировать.

Множество видов уравнений, к которым на первый взгляд невозможно применить разделение переменных, оказываются таковыми. Например, в тригонометрии это достигается за счет тождественных преобразований. Также часто может быть уместной какая-либо остроумная замена, после которой можно будет использовать метод разделенных переменных. Типы дифференциальных уравнений 1 порядка могут выглядеть самым разным образом.

Линейные уравнения

Не менее важный тип дифференциальных уравнений, решение которых происходит путем подстановки и сведения их к методу разделенных переменных.

• Q(x)y + P(x)y" = R(x) - представляет собой уравнение, линейное при рассмотрении относительно функции и ее производной. P, Q, R - представляют собой непрерывные функции.

Для случаев, когда P(x) не равном 0, можно привести уравнение к разрешенному относительно y" виду, поделив все части на P(x).

• y" + h(x)y = j(x), в котором h(x) и j(x) представляют собой соотношения функций Q/P и R/P, соответственно.

Решение для линейных уравнений

Линейное уравнение можно назвать однородным в случае, когда j(x) = 0, то есть h(x)y+ y" = 0. Такое уравнение называется однородным и легко разделяется: y"/y = -h(x). Интегрируя его, получаем: ln|y| = -H(x) + ln(C). Откуда y выражается в виде y = Ce-H(x).

Например, z" = zCos(x). Разделяя переменные и приводя уравнение к дифференциальному виду, после чего интегрируя, получим, что общее решение будет иметь выражение y = CeSin(x).

Неоднородным называется линейное уравнение в его общем виде, то есть j(x) не равно 0. Его решение состоит из нескольких этапов. Сначала следует решить однородное уравнение. То есть приравнять j(x) к нулю. Пусть u - одно из решений соответствующего однородного линейного уравнения. Тогда имеет место быть тождество u" + h(x)u = 0.

Проведем в y" + h(x)y = j(x) замену вида y = uv и получим (uv)" + h(x)uv = j(x) или u"v + uv" + h(x)uv = j(x). Приведя уравнение к виду u(u" + h(x)u) + uv" = j(x) можно заметить, что в первой части u" + h(x)u = 0. Откуда получаем v"(x) = j(x) / u(x). Отсюда вычисляем первообразную ∫v = V+С. Проведя обратную замену, находим y = u(V+C), где u - решение однородного уравнения, а V - первообразная соотношения j / u.

Найдем решение для уравнения y"-2xy = 2, которое относится к типу дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого сначала решим однородное уравнение u" - 2xu = 0. Получим u = e2x + C. Для простоты решения положим C = 0, т. к. для решения поставленной задачи нам нужно лишь одно из решений, а не всевозможные варианты.

После чего проведем подстановку y = vu и получим v"(x)u + v(u"(x) - 2u(x)x) = 2. Затем: v"(x)e2x = 2, откуда v"(x) = 2e-2x. Тогда первообразная V(x) = -∫e-2xd(-2x) = - e-2x + С. В итоге общее решение для y" - 2xy = 2 будет y = uv = (-1)(e2x + С) e-2x = - 1 - Ce-2x.

Как определить тип дифференциального уравнения? Для этого следует разрешить его относительно производной и посмотреть, можно воспользоваться методом разделения переменных напрямую или подстановкой.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!

Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО . Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл , тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать. Также настоятельно рекомендую научиться находить .

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными , которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения . Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности, причём после изучения первых двух статей не помешает закрепить свои навыки на дополнительном практикуме – уравнения, сводящихся к однородным .

Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах , уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование .

Если у вас в запасе всего день-два , то для сверхбыстрой подготовки есть блиц-курс в pdf-формате.

Итак, ориентиры расставлены – поехали:

Сначала вспомним обычные алгебраические уравнения . Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел , которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение имеет единственный корень: . Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение:

– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит :
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Что значит ? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид (– произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Полный боекомплект. С чего начать решение ?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!

На втором шагесмотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки» , а в правой части организовать только «иксы» . Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения . Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе) . В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения . То есть, – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение .

Пожалуйста, запомните первый технический приём , он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) целесообразно записать тоже под логарифмом. И записать НЕПРЕМЕННО, если получились одни логарифмы (как в рассматриваемом примере) .

То есть, ВМЕСТО записи обычно пишут .

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно убрать:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ : общее решение: .

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение и дифференцируем его:

После чего подставляем и производную в исходное уравнение :

– получено верное равенство, значит, общее решение удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить.

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций , , и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций . В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:

1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка , необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка , нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют... …тьфу, lurkmore.to давеча начитался, чуть не добавил «с того света».

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

4) ...пожалуй, пока достаточно. В первом же примере нам встретился ещё один важный момент , но дабы не накрыть «чайников» лавиной новой информации, оставлю его до следующего урока.

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение : по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши .

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если – это константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой :
– при этом модуль убираем, после чего константа «цэ» сможет принимать как положительные, так и отрицательные значения

Запомните «снос» константы – это второй технический приём , который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений. На чистовике можно сразу перейти от к , но всегда будьте готовы объяснить этот переход.

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:



То есть,

Стандартная версия оформления:

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

Ответ : частное решение:

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение и находим производную:

Подставляем и в исходное уравнение :

– получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы , прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В результате у нас получились одни логарифмы, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже определяем под логарифм.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:

Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной:
, и сразу-сразу приводим общий интеграл к виду , коль скоро, это возможно:

Так делать, вообще говоря, не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора;-)

В принципе, этот шедевр можно записать в ответ, но здесь ещё уместно возвести обе части в квадрат и переобозначить константу:

Ответ: общий интеграл:

! Примечание: общий интеграл часто можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Давайте выразим общее решение:

Само собой, полученный результат годится для ответа, но обратите внимание, что общий интеграл смотрится компактнее, да и решение получилось короче.

Третий технический совет: если для получения общего решения нужно выполнить значительное количество действий, то в большинстве случаев лучше воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Это же касается и «плохих» действий, когда требуется выразить обратную функцию, возвести в степень, извлечь корень и т.п. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и громоздко – с большими корнями, знаками и прочим математическим трэшем.

Как выполнить проверку? Проверку можно выполнить двумя способами. Способ первый: берём общее решение , находим производную и подставляем их в исходное уравнение . Попробуйте самостоятельно!

Второй способ состоит в дифференцировании общего интеграла. Это довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно :

делим каждое слагаемое на :

и на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов:
1) нахождение общего решения;
2) нахождение требуемого частного решения.

Проверка тоже проводится в два шага (см. образец в Примере № 2), нужно:
1) убедиться, что найденное частное решение удовлетворяет начальному условию;
2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала :

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :

Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :

Используем основное логарифмическое тождество :

Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Найти общий интеграл уравнения , ответ представить в виде .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла , то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть хоть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и поскольку у нас одни логарфимы, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .

Беда же состоит в том, что с индексами часто не заморачиваются и используют одну и ту же букву . В результате запись решения принимает следующий вид:

Что за дела?! Тут же ошибки! Строго говоря – да. Однако с содержательной точки зрения, ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы получается равноценная варьируемая константа.

Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак: . Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа, которая с тем же успехом принимает то же множество значений, и поэтому ставить «минус» не имеет смысла.

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании. Чего и вам советую делать.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

И, разумеется, здесь НЕ НАДО выражать «игрек» в явном виде, ибо получится трэш (вспоминаем третий технический совет).

Проверка : Дифференцируем ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ.
,

Дифференциальное уравнение - это соотношение, имеющее вид F(x 1 ,x 2 ,x 3 ,..,y,y′,y′′,...y (n)) = 0 , и которое связывает независимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 ,... функцию y этих независимых переменных и ее производные до n -го порядка. Причем функция F определяется и достаточное число раз дифференцируется в некоторой области изменения своих аргументов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения - это дифференциальные уравнения, содержащие лишь одну независимую переменную.

Дифференциальные уравнения в частных производных - это дифференциальные уравнения, в которых содержится 2 и более независимых переменных.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем случае содержит:

1) независимую переменную х ;

2) зависимую переменную y (функцию);

3) первую производную функции: y ’ .

В некоторых уравнениях первого порядка может отсутствовать х или (и) y , но это не существенно - важно чтобы в дифференциальных уравнениях была 1-я производная y ’ , и не было производных высших порядков - y ’’ , y ’’’ и так далее.

Дифференциальное уравнение — уравнение, которое связывает значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть разным (формально он не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях либо все, кроме хотя бы 1-й производной, отсутствовать совсем. Не каждое уравнение, которое содержит производные неизвестной функции, оказывается дифференциальным уравнением. Например , не есть дифференциальным уравнением.

Дифференциальное уравнение порядка выше 1-го можно преобразовать в систему уравнений 1-го порядка, в которой количество уравнений равняется порядку начального уравнения.

Классификация дифференциальных уравнений.

Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной, которая входит в него.

Степень дифференциального уравнения - это показатель степени, в которую возведена производная самого высокого порядка.

Например , уравнение 1-го порядка 2-й степени:

Например , уравнение 4-го порядка 1-й степени:

Бывает дифференциальные уравнения записывают как (в него входят дифференциалы):

(x 2 - 3 xy 2 ) dx + (xy 2 - 3 x 2 y ) dy = 0;

В таком случае переменные x и y нужно полагать равноправными. Если нужно, подобное уравнение приводят к виду, в котором явно содержится производная y" . Разделим на dx :

Так как и , значит, уравнение принимает вид, который содержит производную 1-го порядка.